酷炫动图(三十四):表面张力,“膜”的力量

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膜在生活中可是见得太多了,大家对膜都非常熟悉,水滴表面、肥皂泡等都是常见的“膜”。但是你了解膜背后的理论吗?今天,我们就一起来提高姿势水平,学习一下“膜”的力量——表面张力。

首先,什么是表面张力?

要解释表面张力,我们首先要走进微观世界,看看那些液体分子之间是如何互动的:

现在我们选一个处于液体内部的水分子,对,就你,最萌的那个:

因为无论往哪个方向看,看到的都是相同密度的水分子,所以吸引力和压强对于它来说都是平衡的。

现在,让我们把上半部分的水换成空气:

假设上下两部分的压强相同(压强不同的情况将在第二节介绍),由于空气对水分子的吸引力小于水分子之间的吸引力,所以位于表面的水分子会受到指向液体内部的力,一部分水分子被拉进液体内部,表面层的水分子开始变稀疏,直到吸引力减弱到和空气接近时趋于平衡。表面层水分子的间距大于 r0 ,因此吸引力占上风:

表面张力就是液体表面层水分子之间的吸引力(不是垂直于表面把水分子往里拉的那个力)。这个力使液体表面像一个绷紧的橡皮膜,表面张力系数 σ 的第一种定义就是:作用在液面单位长度上的张力的大小,单位为N/m。

具有“橡皮膜”一般特性的肥皂水液膜。戳破一边后,另一边在表面张力的作用下迅速回缩。录制者:Jubobroff

垂直于液面的拉力使表面的水分子具有了势能,称为表面自由能(不引起混淆时可简称为表面能)。当你克服表面张力扩大液体的表面积时,实际上是做功提升一部分原本位于内部的水分子来到表面(相应的,缩小表面积可对外做功),这样就有了表面张力系数 σ 的第二种定义:单位面积的表面能,单位 J/m2

这两种定义是等价的,以下我们既可以通过分析表面张力得出结论,也可以通过液体“希望”自己表面能最小的角度得出相同的结论。

膜为什么这样弯

如果界面两侧有气压差,膜就会弯曲以平衡气压差,气压高的一侧会使膜向气压低的一侧凸出,这就是吹泡泡的原理。

什么,你说吹泡泡的原理谁不知道?那请你解释一下,当一大一小两个肥皂泡被管道连通时,为什么是小泡泡把气吹进了大泡泡里?

​录制者:vulgarisation

这个现象用表面能解释比较容易:在表面张力系数不变的情况下,合并成一个大泡泡的表面积比两个小泡的总表面积小。如果要从力的角度来解释,需要推导弯曲界面两侧的压强差(杨-拉普拉斯公式)。在这里给出一个比较简单的推导方式:

假设膜在x的方向弯曲,曲率半径为 r,作用在一个微小的长度 dy 上的表面张力 F=σdy ,sinθ≈dx/r ,指向球内的合力为 Fsinθ=σdxdy/r (没有乘2是因为每条边的力被相邻两个面元共用),这一力由压强差平衡,除以面积 dxdy 得压强差为 σ/r 。对于球面x和y方向都弯,故球内压强比球外大 2σ/r (对于肥皂泡因为有两层界面还要再乘2)。

大概意思就是,这个膜弯曲得越厉害,合力向下的分量就越大,说明压强差越大。因此,在外部气压相同的情况下,半径越小的泡反而意味着更大的内部压强,使空气从小泡泡流向大泡泡。

而当半径为零的时候,则需要无穷大的压强差。这个结论看似没什么用(因为实际的膜肯定有一定厚度),但是如果是从纯净的水中凭空产生一个气泡(或者从纯净的蒸气中凝结一个水滴),这一性质的确会阻碍气泡(或水滴)的产生,这就是超纯净的水可以高于沸点也不沸腾的原因。但只要存在哪怕一点点的小杂质,就会打破无穷大压强差的需求而立刻产生气泡,气泡室便是基于此原理来探测微小粒子的。

相应的,过冷蒸气低于凝结点也不凝结,基于此原理可以制成让带电粒子现形的云室。更多阅读:高考动图:物理篇

搞个大泡泡——怎么断了?

我想吹个大泡泡,可是为什么一拉长就容易断呢?

录制者:ExtremeBubblesInc

这一现象称为普拉托-瑞利不稳定性(Plateau–Rayleigh instability)。我们在柱状界面上加一个波长为 λ 的扰动,横截面上的曲率变化 rx 是促进柱的分裂的,但纵截面上 ry 的曲率变化会阻碍分裂,后者的效应随 λ 变长而减弱。

定量的结论是,波长大于柱径的扰动会不断放大,导致柱面断裂。不仅长泡泡容易断开,原本连续的细水流在下落中也很容易在扰动之下断裂,形成一系列小水滴。有很多人研究这个现象,不过不是为了吹泡泡,而是为了设计喷墨打印机。

从水龙头流出的水柱(拍摄者:LePtC)

亲水,疏水,接触角

在气体和液体之外,现在我们再加入新的角色——固体表面。玻璃的表面对水分子非常有吸引力(虽然玻璃的主要成分是二氧化硅,但它的表面通常会因为价态不饱和而结合很多羟基)。如果水滴碰到的界面是玻璃,就会出现跟空气相反的情况:接触面的水分子比平衡时更挤,表面张力是扩张的,表面能是负的,整坨水滴会希望自己跟玻璃的接触面积越大越好(同时跟空气接触面积越小越好),形成特定的接触角 θ 。这个角越小,意味着固体表面的亲水性越强。

亲水性就是处女座的噩梦:水甩不干净,倒水的时候贴壁洒出来等等:

恼人的茶壶效应。图片来自一篇得过搞笑诺奖的论文

这时就需要疏水性来拯救世界了。水分子除了对空气分子不感兴趣外,对非极性的烃、油、脂类都不是很感兴趣,此外将表面变粗糙也可增大表观接触角(Cassie's law)。雨具,自洁玻璃,以及阻止随地小便的涂层都用到了疏水材料(更多阅读:酷炫动图(二十七):水桑,你走开!) 。

疏水的材料甚至能被水面托住——如果表面的“膜”没有被破坏的话。录制者:Grant Thompson - "The King of Random"

零重力饮水杯

如果水滴遇到的亲水材料不是平面而是细管或狭缝的话,就会看到毛细现象。

讲到这里,我们已经有三种方法来解释这个现象了:① 水想增加自己跟玻璃管内壁的接触面积,直到表面能的消耗不足以补偿重力势能;② 固液接触面的负张力把液体向上拉;③ 凹液面会降低液体内的压强,从而外部气压把液体压上来。三种方法都能推导出相同的结论,下图中给出了第一种推法。

(利用毛细现象能做出永动机吗?当然并不能。关于这个问题在这篇松鼠会文章中已有讲解。)

由公式可见,g=0 时 h=∞,失重环境下液体会无限上升,直到占满整个玻璃管为止。实际上不一定非要是封闭的吸管,做一个尖锐的棱也可以让液体无限上升:

这是一段国际空间站上进行的演示,原视频来自:collectSPACE。完整视频及解说搬运在此

如图,当角 φ < 90° - 接触角 θ 时,形成的液面是凹的,可降低缝内的压强,所以外部气压会把液体压进棱里。

利用这种构造,NASA发明出了可以在零重力环境使用的咖啡杯。在毛细现象的作用下,液体不会乱跑,还能自动送到人们嘴边。如今,最新款的杯子长这样:

宇航员Kjell Lindgren的试喝画面。

这款杯子是用 3D 打印制造的。想要一个?制作它的公司在kickstarter上给原版杯子开出了1500美刀的价格……用模具生产玻璃版倒是成本会下降很多,只要35美元——然而,这项众筹并没有成功……(嗯,我选择继续嘬吸管……)

其实,类似的现象在地球上也能观察到——那些袋装辣条之类的小零食,袋口处总是有很多油(此处要感谢吃货 @donizyo 的提议)。经实验,塑料袋虽然对水不怎么亲,但对油的亲和力很强:

油滴(左)与水滴(右)在塑料袋上形成的接触角。拍摄者:LePtC

实验用的是集邮迷你塑料袋,水注入袋子后鼓成一个馒头形,完全没有上升的意愿。

自来水注入塑料袋。拍摄者:LePtC

换成油之后惊了,这货跑得比谁都快,即使把袋口撑得很开,也依然有油一路爬升到袋口:

食用油注入塑料袋。拍摄者:LePtC

NASA的初代零重力杯子诞生于2008年,他们这么晚才发明出这玩意儿,一定是因为外国没有辣条……

(文中漫画及示意图均为作者制图。编辑:窗敲雨)

文章题图:在太空中享用咖啡的宇航员Samantha Cristoforetti,图片来自她的推特账号。

拓展阅读

酷炫动图(三十三):虫篇

用这些动图告诉你,表面张力有多好玩~

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